El estudio de las integrales indefinidas, nos va a permitir resolver un problema, cuyo estudio histórico estaba desvinculado del cálculo integral hasta la aparición de un resultado sumamente importante como es el Teorema de Barrow (Isaac Barrow 1630-1677).

I  El área bajo una curva.

Estamos interesados en calcular el área del recinto amarillo (llamado trapecio mixtilíneo), limitado por una curva (gráfica de una función continua y positiva), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b, con a y b dos valores reales.

Una primera aproximación es sustituir nuestro recinto por otro que tenga un polígono del cual conozcamos una manera fácil de calcular su área. Y puestos  a elegir el polígono más fácil es el rectángulo.
 
 

1.- Qué rectángulo elegirías si tuvieras que calcular el área. ¿En cuanto te equivocarías?. (Si modificas el parámetro n y le asocias el valor 1 podrás ver el que hemos elegido nosotros).

2.- Es posible que el tuyo sea una mejor aproximación pero de todas formas el error que se comete es grande. ¿Qué podríamos hacer, para aproximar el área del trapecio mixtilíneo utilizando rectángulos?. (Modifica de nuevo el parámetro n y encontrarás una solución).

3.- Deduce otras posibilidades, siguiendo la misma técnica, para aproximar el área del recinto amarillo utilizando rectángulos.

Como has visto el intervalo [a,b] ha sido dividido en subintervalos cada vez más pequeños, y que en este caso tienen igual longitud (condición no imprescindible). Estos subintervalos forman la base de rectángulos, que poco a poco van completando el recinto. La suma del área de estos rectángulos es una aproximación al área buscada

4.- ¿Cuántos veces tendremos que hacer el proceso para obtener el área del recinto?

II  La integral definida.

Parece lógico pensar que por muy fina que hagamos la base del rectángulo, siempre habrá una diferencia, por muy pequeña que sea ésta y posiblemente no la podamos diferenciar en un dibujo, entre cada rectángulo y el trozo de recinto que ese rectángulo pretende aproximar. También parece lógico que cuanto más fina sea esa base más nos acercaremos a la verdadera área.

En estas condiciones tenemos:

• Para cada valor del parámetro n se tiene una longitud de la base.
• Para cada longitud de las bases se tiene un valor distinto de la suma de las áreas de los rectángulos
• ¿Hacia donde tiende la longitud de la base?
• ¿Hacia donde tiende la suma del área de los rectángulos?
• ¿Qué concepto matemático está inmerso en esta secuencia?

Este límite común recibe el nombre de integral definida de la función f en [a,b] y se designa por

III  Relación entre el cálculo de áreas y la primitiva de una función.
 

Consideremos una función y=f(x) y vamos a construir una nueva función, que para cada valor de t represente el área del trapecio mixtilíneo del intervalo [a,t] . A esta nueva función la vamos a designar A(t) y según su definición

5.- Modifica el valor de t y observa cómo se construye la gráfica de A(t)

6.- Representa en tu cuaderno la función y=f(x) de la escena y calcula para distintos valores de t una aproximación al valor del área del recinto limitado por la gráfica de f, las rectas x=a, x=t y el eje de abscisas, mediante el método de los rectángulos.

Veamos de nuevo la función área y observemos qué relación hay con su derivada

7.- ¿Qué relación hay entre las gráficas azul de A(t) y fucsia de f(t)?

IV La regla de Barrow.

Hemos comprobado cómo la función área es una primitiva de f. Pero a estas alturas tu ya sabes cómo calcular otra primitiva G de f

8.- ¿Qué relación habrá entre la primitiva que tu calculas y A(x)?. Escribe tu primitiva en la ecuación naranja de la escena. Observa la relación que hay entre las dos funciones. ¿Era lo que esperabas?.

9.- Deduce de la relación que existe entre A(x) y G(x), la fórmula que permite calcular los valores de A(x) a partir de los de G(x). Equivalentemente calcula la constante que las diferencia. (Indicación: Fíjate en los valores de ambas funciones en x=a).

10.- Recuerda que nuestro objetivo era calcular el valor del área del trapecio mixtilíneo entre a y b, o dicho de otro modo el valor de A(b). Utiliza los resultados obtenidos en los dos ejercicios anteriores.

11.- Generaliza el proceso para cualquier otro valor de b

El resultado que acabas de obtener se llama regla de Barrow y es una forma práctica de calcular el área de trapecios mixtilíneos utilizando el cálculo integral.
 
 
 

12.- Calcula el área  bajo la recta y=3 entre x=-2 y x=-1

13.- Calcula el área bajo la recta y=x+2 entre a=0 y b=3

14.- Calcula el área bajo la curva y=x²  entre a=-1 y b=3

15.- Calcula el área bajo la curva y=cos(x) entre a=0 y b=p

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001