GEOMETRÍA ANALÍTICA |
| Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad |
| La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos X que equidistan de sus extremos: dist(X,A) = dist(X,B) |
| Pero también puedes ver
que la mediatriz
corta al segmento AB
en su punto medio M,
y es perpendicular a él.
Por esta razón, los vectores MX y AB son perpendiculares, o sea su producto escalar es cero. Todo esto lo puedes comprobar en la escena. Para hallar la ecuación de la mediatriz basta aplicar que dist(X,A)=dist(X,B) |
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Así en el inicio de la
escena tenemos A(-3,4), B(1,0) y X(x,y), luego:
 Puedes también comprobar en la escena que la recta representada es y = x + 3, pues tiene de pendiente 1 y de ordenada en el origen 3. |
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1.- Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(0,5) y B(4,3).
2.- Comprueba tus cálculos en la escena anterior y escribe en tu cuaderno cuál es la pendiente de la recta obtenida y la ordenada en el origen.
3.- Calcula el producto escalar de los vectores MX*AB, que si lo has hecho todo correctamente ha de dar igual a cero, pues son perpendiculares.
4.- Calcula las distancias AX y BX, que puedes comprobar en la escena.
5.- Calcula las coordenadas del punto medio
M del segmento
AB, y compruébalo
en la escena.
| La bisectriz de un ángulo de lados r1, r2 es el lugar geométrico de los puntos X que equidistan de r1 y de r2: dist(X,r1) = dist(X,r2) |
| Para cualquier punto X
de la bisectriz, la distancia de X
a las dos rectas que forman el ángulo es la misma.
Mueve el punto X y lo comprobarás.
Para hallar la ecuación de la bisectriz, basta aplicar la expresión: En nuestro caso nos queda así:
Pero si |A|=|B| se pueden dar dos casos: |
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| Por tanto puede ser:
De la primera igualdad resulta: x-y-3=0, que es la bisectriz (recta gris) que hemos representado. Corresponde al otro ángulo que forman las dos rectas azules, o sea al suplementario del ángulo amarillo representado. Las dos bisectrices se cortan en el mismo punto que lo hacen las rectas y son perpendiculares entre sí. |
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| El parámetro m
que aparece en esta escena es la pendiente
de la recta roja.
Tenemos dos rectas, r1 y r2, que se cortan en un punto formando un ángulo, del que queremos hallar su bisectriz. Las ecuaciones de r1 y r2 pueden verse en la escena, así como las distancias de un punto X de la recta roja a r1 y r2. Halla la ecuación de la bisectriz, y cuando averigues su pendiente, m, introduce su valor en la escena, y comprueba que |
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se cumple que: dist(X,r1)
= dist(X,r2)
Nota: Hay dos bisectrices, la que
vas a representar es una de ellas.
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| Circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya distancia a C es r: dist (X,C) = r |
| EJERCICIO 25
En este ejercicio vas a hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,0) y radio r=5. Tienes que aplicar la expresión: Donde X(x,y), C(-3,0) y r=5 Nota: La circunferencia la estudiarás más detenidamente en otro tema. |
| Elipse de focos F1 y F2 y constante k, es el lugar geométrico de los puntos, X, cuya suma de distancias a los focos es k: dist(X,F1) + dist(X,F2) = k |
| Si desplazas el punto X
con el ratón, verás que solamente cuando X
es un punto de la elipse, se cumple que:
Para hallar la ecuación de la elise, basta aplicar la expresión: Esto es, resulta la siguiente ecuación: 
Nota: La elipse la estudiarás más detenidamente en otro tema. |
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
