Geometria2

3.- Ecuaciones de la recta

Una recta r queda determinada vectorialmente del siguiente modo:

Dando un punto P de la recta, lo cual supone dar el vector OP =p, llamado vector de posición

Dando un vector, d, paralelo a la recta llamado vector dirección

Si en la escena adjunta, vamos cambiando el valor del parámetro t, y observamos los vectores de origen O, p, p+d, p+2d, p-d, ... todos ellos tienen su extremo sobre la recta r.

En general, p+td es un vector que, si se sitúa con su origen en O, tiene su extremo, X, sobre la recta r y se desliza sobre ella al variar t.

OX = p + t.d

O es el origen de coordenadas
X es un punto cualquiera variable de la recta
p es el vector posición de un punto P conocido de la recta
d es un vector dirección conocido, paralelo a la recta
t es un parámetro. Al dar valores a t, obtendremos los distintos puntos X de la recta

Si en la ecuación vectorial se sutituyen los vectores por sus coordenadas, queda así: (x,y) = (p₁,p₂) + t (d₁,d₂)

Expresando por separado cada coordenada se obtienen las ecuaciones paramétricas:

(x,y) son las coordenadas de un punto cualquiera desconocido de la recta
(p₁,p₂) son las coordenadas de un punto conocido de la recta
(d₁,d₂) son las coordenadas de un vector paralelo a la recta
t es un parámetro. Para cada valor que le demos a t se obtiene un punto (x,y) de la recta

Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos el parámetro (por ejemplo, despejando t en una de ellas y sustituyendo su valor en la otra), se obtiene una única ecuación del tipo:

Vamos a hallar las distintas ecuaciones de la recta r representada en la escena siguiente

En esta escena si vas cambiando el valor del parámetro t, irás viendo los distintos puntos X de la recta r, y sus coordenadas deducidas de las ecuaciones paramétricas

Tomamos:

el vector posición de un punto cualquiera de r
p(3,6)

un vector cualquiera, paralelo a r
d(3,2)

ECUACIÓN VECTORIAL

OX = p + t.d

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Para despejar la t, multiplicamos la primera ecuación por 2, la segunda por -3 y sumamos: 2x - 3y = -12

ECUACIÓN IMPLÍCITA

2x - 3y + 12 = 0

Hallar las ecuaciones paramétricas y la implícita de la recta que pasa por los puntos A(3,-1) y B(1,5)

Tal como hemos dicho antes, para tener definida una recta vectorialmente, necesitamos tener un punto de la misma y un vector de la misma dirección.

Punto: cualquiera de los dos dados, A o B

Vector dirección: el que une los dos puntos dados AB

1.- Ahora escribe en tu cuaderno las ecuaciones paramétricas de la recta

2.- Elimina la t entre las dos ecuaciones paramétricas y calcula la ecuación implícita

3.- Dale a t tres valores distintos, sustitúyelos en las ecuaciones paramétricas, calcula las coordenadas de los puntos de r en cada caso, y comprueba en la escena que son puntos de la recta. Para ello cambia el valor de t, y por tanto el punto B. (Nota: Recuerda que si quieres ver algún punto que se sale de la escena, puedes cambiar la escala o la posición de los ejes en los botones superiores de la misma)

4.- Mueve el punto B, cambiando el valor de t, y repite los apartados 1 y 2 para el nuevo punto B. Podrás comprobar que la ecuación implícita que resulta es la misma, y que los puntos que se obtienen de las paramétricas, son los mismos que antes.

1.- Empieza hallando dos puntos de la recta.

Primer punto: sustituyendo en la ecuación implícita dada el valor y=-1, obtienes el valor de x correspondiente a ese punto de la recta (compruébalo en la escena)

Segundo punto: sustituyendo y=2, obtienes otro valor de x del otro punto
(mueve el punto P en la escena para comprobarlo)

2.- Conociendo dos puntos el ejercicio es similar al anterior. Escribe en tu cuaderno las ecuaciones paramétricas.

3.- Dale tres valores a t, en dichas ecuaciones, y comprueba en la escena que son puntos de la recta representada.


	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000

GEOMETRÍA ANALÍTICA