1.- Sistema de referencia en el plano
| Es un conjunto R = {O, (x,y)} | O punto fijo, llamado origen |
| (x,y) base |
A CADA PUNTO P DEL PLANO
se le asocia SU VECTOR POSICIÓN OP QUE TIENE UNAS
COORDENADAS
| El punto P
da lugar al vector OP
El vector OP tiene de coordenadas (4,3) respecto de la base B(x,y) El punto P tiene de coordenadas (4,3) respecto del sistema de referencia R Cambiando los valores de a y b puedes ver que a otro punto P, corresponde otro vector OP Las coordenadas de OP(a,b), siempre serán las coordenadas de P(a,b) |
2.- Aplicaciones de los vectores a
problemas geométricos
2.1.-
COORDENADAS DEL VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS DADOS POR SUS
COORDENADAS
| En esta escena hay tres
vectores que cumplen: OA + AB = OB Por tanto: AB = OB - OA Coordenadas de OA = coordenadas de A Coordenadas de OB = coordenadas de B De esta forma, coordenadas del vector AB = coordenadas de su extremo B - coordenadas de su origen A Compruébalo moviendo los puntos A y B (en esta escena el movimiento de estos puntos lo hemos limitado para que el vector AB siempre tenga la misma dirección) |
EJERCICIO 1
1.- En el inicio de la escena
anterior vemos que AB = (3,-6) ¿Cuáles serán las coordenadas del vector BA? Anótalo
en tu cuaderno.
Ayuda: Coloca el punto A donde está el B y
viceversa
2.- Ahora le vas a dar
a las coordenadas de los puntos A y B los distintos valores que se muestran a
continuación.
Anótalos, calcula las coordenadas del
vector AB en cada caso y después compruébalo en la
escena anterior:
| A=(4,8)
B=(6,4) |
AB=? | A=(8,0)
B=(5,6) |
AB=? |
| A=(5,6)
B=(7,2) |
AB=? | A=(6,4)
B=(6,4) |
AB=? |
2.2.-
COMPROBACIÓN DE QUE TRES PUNTOS ESTÁN ALINEADOS
Los puntos A(x1,y1),
B(x2,y2), C(x3,y3) están alineados siempre que los vectores AB y
BC tengan la misma dirección.
Esto ocurre cuando sus coordenadas son
proporcionales:
| AB = (x2-x1 , y2-y1) |  |
| BC = (x3-x2 , y3-y2) |
EJERCICIO 2
| 1.- En esta
escena puedes mover los puntos B
y C, para comprobar que las coordenadas
de los vectores AB y BC son proporcionales, ya que los puntos
A, B y C están alineados. Anota en tu cuaderno las coordenadas de A, B y C, la de los vectores AB y BC y la proporción entre las x y las y en el inicio de la escena. 2.- Calcula las coordenadas de BC si C=(5,2) pero A y B no cambian. 3.- Calcula ahora la razón entre la x de AB y la x de BC. |
|
| 4.- Calcula
también la razón entre la y
de AB y la y de BC. Te tiene que dar lo mismo que la
razón entre las x. 5.- Comprueba tus resultados en la escena moviendo el punto C al (5,2) |
|
EJERCICIO 3
En esta escena tenemos
tres puntos P(1,4), Q(5,-2) y R(m,n)
Moviendo adecuadamente el punto R, o
cambiando los valores de m y/o n, puedes conseguir que los puntos P, Q y R estén
en la misma recta azul, o sea, ALINEADOS
| 1.- Mueve el punto R
para que sea m=6, y esté alineado con P
y Q. Anota en tu cuaderno el valor de n
obtenido. 2.- Copia en tu cuaderno estos cálculos. Son los necesarios para hallar el valor de n observado en el apartado anterior: PQ=(5-1,-2-4)=(4,-6)
n= -3.5 |
|
| 3.- Ahora mueve
el punto R para que sea n=6,
y esté alineado con P y Q. Anota en tu cuaderno el valor de m
obtenido. 4.- Escribe en tu cuaderno los cálculos necesarios para obtener el valor de m que has observado en el apartado anterior. 5.- Mueve en la escena el punto R en un lugar cualquiera que haga que P, Q y R estén alineados, y después de anotar las coordenadas de R observadas, comprueba con cálculos, que las coordenadas de los vectores PQ y QR son proporcionales. |
|
2.3.-
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
En esta escena aparece una suma de
vectores: OA + OB = OS
OS es la diagonal del paralelogramo
OASB.
Las diagonales se cortan en sus puntos
medios. Por tanto: 
, donde
A=(x1,y1) y B(x2,y2)
|
EJERCICIO 4
1.- Calcula en tu cuaderno las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(-3,7), B(7,-1)
2.- Comprueba el resultado en la escena anterior
EJERCICIO 5
1.- Calcula en tu cuaderno el
simétrico, P', del punto P(8,4) respecto de Q(4,1)
Ayuda: Q será el punto medio del
segmento PP'
2.- Comprueba el resultado en la escena anterior
Autora: Ángela Núñez Castaín
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
