Construcción de la función tangente

Definición de la tangente de un ángulo agudo:

Sea A un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, recuerda que la tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto BC y el cateto contiguo AB.

1.- Modifica el valor del ángulo A y observa cómo cambia el valor de la tangente.(Puedes pulsar las flechitas de colores o escribir el valor del ángulo entre 0º y 90º)

Comprueba que si se modifica sólo la longitud del cateto AB también cambia el cateto BC y la hipotenusa AC, sin embargo el ángulo A no cambia y el cociente BC/AB, que es el valor de la tangente, tampoco.

Definición de la tangente de un ángulo cualquiera.

Sea A un ángulo cualquiera, si lo representamos con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, se define la tangente del ángulo A como el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier punto del segundo lado.

tg (A) = y/x

2.- Mueve el punto P para modificar el valor del ángulo A y observa el valor de la tangente, prueba con ángulos de distintos cuadrantes y observa como cambia.

Teniendo en cuenta la definición de tangente ¿habrá algún ángulo para el que no esté definida? ¿cuál?

La tangente de ángulos próximos a 90º y a 270º.

Se observa que en los ángulos próximos a 90º y a 270º el valor de la abscisa del punto P es mucho menor que la ordenada, por lo que los cocientes y / x son valores muy grandes.

3.- Mueve el punto P o modifica los valores de x e y y analiza lo que ocurre para valores próximos a 90º y a 270º. ¿Cómo es el signo de la tangente para esos valores? (Escribe valores como 0.1, 0.01, ... y observa el valor de la tangente).

¿Qué pasará para los ángulos de 90º y 270º?

La tangente en la circunferencia goniométrica.

Se llama circunferencia goniométrica a la que tiene su centro en el origen de coordenadas y de radio uno.

Cualquier punto de la circunferencia goniométrica dista 1 del origen, por lo tanto, si representamos el ángulo con el vértice en el origen de coordenadas y un lado sobre el semieje OX positivo, el valor de la tangente coincide con la ordenada del punto de corte del otro lado del ángulo, o su prolongación, con la recta tangente a la circunferencia en el punto M.

tg (a) = y/x = MT/AM=MT/1=MT

4.- Mueve el punto P y observa que la tangente de cada ángulo coincide con la longitud del segmento verde MT.

La función tangente

Construcción de la función tangente a partir de la circunferencia goniométrica.

5.- Aumenta el valor del ángulo en la circunferencia goniométrica y observa los valores de la tangente sobre la circunferencia y en la gráfica y=tg(x), donde x es el ángulo medido en radianes.

La gráfiica de la función tangente

Después de media vuelta a la circunferencia goniométrica los valores de la tangente vuelven a repetirse. Por ello se dice que esta función es periódica, de periodo p.

6.- Utiliza el cambio de escala, aumentándolo y disminuyéndolo. Observa que las rectas verticales de color rojo son asíntotas, es decir que las ramas de la tangente se aproximan a ellas tanto como se quiera.

Autor: Juan Madrigal Muga

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000