INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Descripción

Inecuaciones de primer grado. Resolución gráfica

........................................................Resolución numérica

Inecuaciones de grado superior

Sistemas de inecuaciones

Otros casos

DESCRIPCIÓN

Sabemos que las expresiones:

3x + 1 = x - 3

x² - 3x = 0

Representan ecuaciones. Si en lugar de estar relacionados los dos miembros por una igualdad (=), lo están por alguna desigualdad:

> (mayor); < (menor); # (distinto); ³ (mayor o igual); £ (menor o igual)

estaremos ante "inecuaciones". Por ejemplo:

3x + 1 > x - 3

x² - 3x £ 0

Como en las ecuaciones, se clasifican por el grado y por el número de incógnitas.

De los dos ejemplos, la primera será de primer grado con una incógnita y la segunda de segundo grado con una incógnita.

Como en las ecuaciones, resolver una inecuación es encontrar el valor o valores de x que cumplen la relación.

La inecuaciones en las que la relación entre los dos miembros es "distinto #" podemos considerarlas ya resueltas ya que basta resolver la ecuación y la solución de la inecuación serán todos los valores reales excepto los correspondientes a dicha solución.

Ejemplo: Resolver la inecuación: x² + x - 2 # 0 .

Las soluciones de la ecuación: x² + x - 2 = 0 son x = -2 y x = 1, luego las soluciones de la inecuación son todos los valores reales excepto 1 y -2, o sea: R - {-2, 1}

INECUACIONES DE PRIMER GRADO. RESOLUCIÓN GRÁFICA

Ejercicio 1.- Resolver la inecuación 3x + 1 > x - 3.

Obtengamos las gráficas que corresponden a cada miembro de la inecuación. Se trata en este caso de dos rectas que se pueden observar en la escena siguiente:

¿Para qué valores de x se cumple la relación?

Señala en las flechitas inferiores para ir cambiando los valores de x.

Observa cuál es la recta 3x + 1 y cuál la x - 3. Observa para qué valores de x los puntos de la primera están "por encima de los de la segunda".

En el extremo superior izquierdo de la pantalla se pueden ver ambas expresiones y el valor que van tomando al ir variando los valores de x.

En el eje X, se dibuja en color verde la "zona" de los valores de x que cumplen la inecuación y son cualesquiera mayores que -2

Se escribe la solución como el intervalo: (-2, ¥). El símbolo ¥ significa "infinito" .

Obsérvese que para x = -2 se cumple la igualdad, luego x = -2 "no cumple" la inecuación, pero sí cualquier valor mayor que -2, por ello el intervalo "abierto" por -2.

RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Numéricamente las inecuaciones se resuelven basándose en la resolución de ecuaciones, con diferencias según el grado de las inecuaciones o la complejidad de la expresión.

Un ejemplo es el resuelto antes gráficamente: 3x + 1 > x - 3

Para resolverla NUMÉRICAMENTE se procede como en las ecuaciones a "despejar la x":

3x - x > -3 - 1. ; 2x > -4; x > -4/2 ; x > -2, que coincide con la solución obtenida antes.

Atención: Cuando al despejar "x" haya que dividir por un número negativo, equivalente a cambiar de signo todos los términos de la desigualdad, esta debe "cambiar de sentido". Por ejemplo:

Ejercicio 2.- Resolver la inecuación x - 1 ³ 5x + 3

Llegaremos a que -4x ³ -4; x £ -4/-4 ; x £ 1

Utiliza la escena siguiente para comprobar la solución, escribiendo las ecuaciones adecuadas. Cambia los valores de x hasta el punto de corte de ambas rectas y:

Atención: "Debes decidir si es la zona azul o la verde la solución"

Ejercicio 3.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo y gráficamene, cambiando las ecuaciones adecuadamente, las siguientes inecuaciones.

a) 1-3x £ 2x - 9

b) x/2 - x/3 > 1

Nota: Si después de cambiar las ecuaciones quieres volver a la imagen que se presentaba al principio, basta con que pulses el botón inferior "inicio".

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O SUPERIOR

Cualquier inecuación en la que las expresiones de ambos miembros sean polinomios de segundo grado o superior, se resolverá de forma similar a una de segundo grado.

Ejercicio 4.- Resolver la inecuación: x² + 2x - 1 > 2x + 3

Gráficamente puede resolverse igual que el caso anterior, o sea comprobar para qué valores de x la gráfica correspondiente al primer miembro está "por encima" de la del segundo miembro.

Señala en las flechas inferiores para ir variando los valores de x, observa los puntos rojo y azul y los valores numéricos de ambos miembros en la parte superior izquierda.

¿Cómo escribirías la solución?. Observa que se trata de la zona del eje X resaltada en verde.

En forma de intervalos lo escribimos: (-¥, -2) U (2, ¥) donde U significa "unión".

RESOLUCIÓN NUMÉRICA

Para resolver estas ecuaciones numéricamente lo más cómodo es expresar la inecuación de forma que el segundo miembro sea 0. En el caso del ejercicio anterior: x² + 2x - 1 > 2x + 3. Se obtiene sin dificultad:

x² - 4 > 0 .

Se procede entonces a resolver la ecuación: x² - 4 = 0 , cuyas soluciones son evidentemente x = 2 y x = -2.

Basta tener en cuenta ahora que los posibles intervalos solución son . (-¥, -2), (-2 , 2) y (2, ¥).

Podemos "probar" un valor cualquiera de cada intervalo en la inecuación, que de hacerla cierta, nos daría todo el intervalo como válido: Por ejemplo, probamos:

x = -3 ( 9 - 4 > 0 "cierto" ) ; x = 0 ( -4 > 0 "falso" ) y x = 4 ( 16 - 4 > 0 " cierto" ) , lo que nos da como intervalos válidos para la solución los obtenidos antes gráficamente: (-¥, -2) y (2, ¥).

Gráficamente, si el segundo miembro ya es 0, se obtendría la siguiente imagen donde se puede comprobar cuando la gráfica correspondiente al primer miembro (parábola) está por "encima" del eje X (y = 0).

Ejercicio 5.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo las siguientes inecuaciones y comprueba las soluciones gráficamente, utilizando esta imagen gráfica (escribe en las dos ventanas inferiores las ecuaciones correspondientes).

a) x² - 3x + 2 ³ 0. . . . . . . . . . . . . . b) 1 - 2x < x - x² + 1

Atención: Cuando el signo de la desigualdad incluya el = (como el caso a) ), el intervalo o intervalos solución deben ser "cerrados" ya que los extremos (cuando no son infinito) cumplirán la inecuación. Pueden ser del tipo por ejemplo [0 , 2], [3, ¥), etc.

SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Se trataría de encontrar los valores de x que cumplan a la vez dos inecuaciones.

En este caso se aconseja expresar ambas inecuaciones con el segundo miembro 0, resolverlas por separado, y encontrar los valores de x que pertenezcan a la vez a los intervalos de ambas soluciones.

Gráficamente se pueden representar las gráficas correspondientes a los primeros miembros (con el segundo ya 0) y observar los valores de x para los que ambas están a la vez por encima o debajo del eje X según el sentido de las desigualdades.

Ejercicio 6.- Resolver el sistema de inecuaciones:

x - 2 < 0

x² +4x - 5 > 0

Obsérvese en la siguiente imagen la solución, cambiando los valores de x y viendo cuando la gráfica roja está por debajo del eje X y la azul por encima.

¿Cuál es la solución?

Seguro que has visto que la solución este ejercicio es: (- ¥, -5) U (1 , 2)

Numéricamente se resolverían por separado ambas inecuaciones, como se ha vista antes, y los intervalos que cumplan a la vez ambas soluciones serían la solución del sistema.

OTROS CASOS

En algunos casos nos interesa resolver inecuaciones en las que las expresiones son de tipo "racional" o sea cociente de polinomios. Por ejemplo:

Ejercicio 7.- Resolver la inecuación: (x+1)/(x² - 4) ³ 0.

Se pueden resolver gráficamente dibujando la gráfica correspondiente al primer miembro y viendo en qué intervalos se cumple la inecuación. En este caso se puede dibujar sin problemas en la pantalla gráfica (utilizando como primera ecuación la expresión del primer miembro de la inecuación y como segunda ecuación y = 0) y ver que la solución estará entre los valores -2, -1 y desde 2 a infinito, debiéndose precisar cuando son cerrados o abiertos:

Solución: (-2 , -1] U (2, ¥)

Otra forma es resolver por separado los sistemas de inecuaciones:

x + 1 ³ 0 , x² - 4 > 0

x + 1 < 0 , x² - 4 < 0

y encontrar los intervalos que cumplen ambas soluciones.

Ejercicio 8.- Resolver numéricamente, en el cuaderno de trabajo la inecuación: (x - 2) / (x + 1) > 0.

Comprobar el resultado gráficamente escribiendo la ecuación adecuada en la imagen gráfica anterior

Ya, en general, cualquier inecuación se puede resolver, gráficamente, de modo idéntico al utilizado en los casos vistos y, numéricamente, dependerá del tipo de expresión.

Autor: Leoncio Santos Cuervo

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000