Victor_Lozano

Si la expresión analítica de una función f(x) se modifica sumándole una constante v se obtiene una nueva función f(x)+v cuya gráfica está desplazada verticalmente respecto de la gráfica inicial v unidades, hacia arriba si v es positivo y hacia abajo si v es negativo.

Si en la expresión analítica de una función f(x) se modifica la variable, sumándole una constante h, se obtiene una nueva función: f(x+h) cuya gráfica respecto de la función inicial está desplazada horizontalmente respecto de la gráfica inicial h unidades, hacia la izquierda si h es positivo y hacia la derecha si h es negativo.

Actividad 1ª.

Comprueba que las afirmaciones anteriores son ciertas realizando distintas modificaciones en los valores de v y h observando como se desplaza la gráfica en cada momento. Después realiza las siguientes modificaciones en la gráfica de la funcion f(x)=x^2, elegida como función inicial en este caso:

a) Desplázala 3 unidades a la izquierda y después 2 unidades hacia arriba. Anota la expresión de la nueva función obtenida y observa los valore de v y h

b) Desplázala 5 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo. Anota su nueva expresión.

c) Representa las funciones: f(x)=-3+(-6+x)^2 y f(x)=6+(3+x)^2 , describiendo además los desplazamiento verticales y horizontales que se realizan para obtener su gráfica a partir de la gráfica inicial y anotando los valores de v y h en cada caso.

Para desplazar la gráfica de una función según un vector v de coordenadas (a,b) basta con realizar un desplazamiento horizontal de a unidades y otro vertical de b unidades.

Actividad 2ª.

Realiza las translaciones de la gráfica inicial, que en este caso es f(x)=x^3, que se indican a continuación:

a) Translación según el vector de coordenadas (4,-3).

b) Translación según el vector de coordenadas (2, 7).

c) Translación según el vector de coordenadas (6, 4).

Si en la expresión analítica de una función f(x) cambiamos el signo de la función, la nueva función -f(x) tiene una gráfica simétrica respecto del eje de abscisas ox de la gráfica inicial.

Actividad 3ª.

Comprueba que las gráficas de las funciones f(x)=a^x+b y g(x)=-a^x-b son simétricas respecto del eje de abscisas para distintos valores de a y b. Observa como los puntos unidos por el segmento dibujado en verde son simétricos respecto del eje ox, modifícalos utilizando el parámetro c que indica la abscisa de uno de ellos.

Si en la expresión analítica de una función f(x) cambiamos el signo de la variable, la nueva función f(-x) tiene una gráfica simétrica respecto del eje de abscisas oy de la gráfica inicial.

Actividad 4ª.

Comprueba que para distintos valores de los parámetros k y b las gráficas que se obtienen de las funciones: f(x)=x^3-k.x+b, y de: g(x)=(-x)^3+k.x+b son simétricas respecto del eje oy. Observa también como al modificar el valor de b se produce un desplazamiento vertical como ya hemos analizado en las escenas anteriores. Observa como los puntos unidos por el segmento dibujado en verde son simétricos respecto del eje oy. Modifícalos utilizando el parámetro c que indica la abscisa de uno de ellos.

Para obtener la gráfica simétrica respecto del origen de una función dada basta con combinar las dos transformaciones anteriormente analizadas: simetría respecto del eje de abscisas y simetría respecto del eje de ordenadas con lo cual la expresión inicial de la función f(x) se convertirá en -f(-x).

Actividad 5ª

Comprueba como para diferentes valores de a y b las gráficas de las funciones f(x)=a^x+b y g(x)=-a^(-x)-b son simétricas respecto del origen de coordenadas. Además observa que al modificar el valor de b una gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba y la otra hacia abajo. Observa también como los puntos unidos por el segmento dibujado en verde son simétricos respecto del origen de coordenadas, modifícalos utilizando el parámetro c que indica la abscisa de uno de ellos.

Si en la expresión analítica de una función multiplicamos toda la función por un valor a se produce una dilatación vertical (si a>1) o una contracción vertical (si 0<a<1), de razón a.

Si en la expresión analítica de una función sustituimos la variable x por b*x se produce una dilatación horizontal (si 0<b<1) o una contracción horizontal (si b>1) de razón 1/b.

Actividad 6ª

a) Modifica la gráfica de la función seno de forma que las ondas sean el doble a altas pero contraidas a la mitad horizontalmente (elige a=2 y b=2).

b) Dibuja la gráfica de la función y=3.sen(2x) e indica que transformaciones geométricas se han realizado respecto de la gráfica de y=sen x.

c) Dibuja la gráfica de la función y=(1/4).sen(5x) e indica que transformaciones geométricas se han realizado respecto de la gráfica de y=sen x.

Se pueden realizar transformaciones combinadas de las anteriormente estudiadas sin mas que ir realizando las sucesivas modificaciones en la expresión analítica y observando como se producen las correspondientes transformaciones geométricas en la gráfica de la función.

Actividad 7ª.

Realiza las tranformaciones que se indican para cada una de las funciones editando la función inicial en azul y las sucesivas transformaciones en rojo:

A partir de la gráfica de la función f(x)=x^2 (gráfica azul) se pide:

a) Simetría respecto del eje ox (gráfica roja).

b) Translación según el vector de coordenadas (2,3) (gráfica verde).

c) Dilatación horizontal de razón 2.(gráfica rosa).

A partir de la gráfica de la función f(x)=cos(x) (gráfica azul) se pide realizar sucesivamente las transformaciones:

a) Dilatación vertical de razón 3 (gráfica roja y=3*cos(x)).

b) A continuación translación según el vector de coordenadas (-2,1) (gráfica verde y=1+3*cos(x+2)).

c) Por último dilatación horizontal de razón 1/2( observa que entonces b=2) (gráfica rosa y=1+3*cos(2*(x+2)) ).

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN

Estudia otras transformaciones que tu creas que se pueden realizar en la expresión analítica de una función y sus correspondientes efectos geométricos en su gráfica, como por ejemplo que ocurre al tomar valor absoluto en la expresión de una función u otras transformaciones que se te ocurran. Utiliza la última escena para realizar tus investigaciones.