EL PUNTO DE NO RETORNO

Un problema de pendientes

El enunciado.

Imagina que pilotas una avioneta, que es capaz de viajar a una velocidad constante de 300 Km/h en aire sin viento. Tiene combustible suficiente para cuatro horas.

Despegas del aeropuerto y, en el viaje de ida, eres ayudado por un viento de 50 Km/h que aumenta tu velocidad de crucero con respecto a tierra a 350 Km/h.

De repente, te das cuenta de que en el viaje de vuelta estarás volando en contra del viento y en consecuencia tu velocidad se reducirá a 250 Km/h.

• ¿Cuál es la máxima distancia (d) a la que puedes volar desde el aeropuerto, y estar seguro de que tienes combustible suficiente para hacer el viaje de regreso?
• ¿En qué momento (t) deberías dar la vuelta?
• A esta distancia máxima le podemos llamar "punto de no retorno". Investiga cuales son esos puntos para distintas velocidades del viento (v).

Comprensión del enunciado: La ida.

En la siguiente gráfica pinchando en el botón rojo podrás situar al avión a una distancia y a un tiempo dado desde el aeropuerto:

• Sitúa el avión en el punto (2,600). ¿Qué significa?
• ¿Cuál ha sido la velocidad del avión hasta llegar a este punto?
• ¿Cuál es la pendiente del segmento verde?¿Qué significa?
• Prueba a situar al avión en otros puntos: (0.5,300), (1.25,400), (1,350). Contesta a las preguntas anteriores para estos puntos.
• ¿Cómo puedes representar la velocidad del avión en una gráfica como esta.

Comprensión del enunciado: La vuelta.

En este caso el punto que podemos mover pinchando con el ratón, es el de regreso. El vuelo dura 4 horas:

• Sitúa el avión en el punto (2.5,500). ¿Qué significa?
• ¿Cuál ha sido la velocidad del avión hasta volver al aeropuerto?¿Cuánto ha tardado en el viaje de vuelta?
• ¿Cuál es la pendiente del segmento verde?¿Qué significa?¿Y su signo?
• Prueba a situar al avión en otros puntos: (0.5,300), (1.25,400), (1,350). Contesta a las preguntas anteriores para estos puntos.
• ¿Cómo puedes representar la velocidad de regreso del avión en una gráfica como esta?

La solución.

Representando los viajes de ida y vuelta por sus correspondientes rectas podemos localizar los puntos de no retorno para distintas velocidades en los viajes de ida y vuelta.

• Con los datos del problema, ¿cuál es la máxima distancia que puedes viajar desde el aeropuerto?

• ¿En qué momento tienes que dar la vuelta?

• Escribe dos expresiones para la velocidad de ida de la avioneta, una referida a v y otra referida a d y a t. Haz lo mismo con la velocidad de vuelta.

La generalización.

Está claro, que al modificar la velocidad del viento obtenenmos distintos puntos de "no retorno" que originan un conocido dibujo:

• ¿Qué tipo de dibujo originan estos puntos?¿Podrías explicar por qué?

• Los valores negativos de v, ¿qué sentido tienen?

• Intenta expresar d únicamente en función de t, eliminando v de las dos ecuaciones obtenidas en el apartado anterior. ¿Explica esto el dibujo formado por tus puntos de no retorno?

• ¿Cuales son las principales características del dibujo obtenido y qué indican?

Autor:Carlos Martínez Sánchez.