LÍMITE, CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD EN FUNCIONES A TROZOS


En las siguientes escenas vamos a comprobar los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad. Se proponen unos ejercicios que debes contestar por escrito en tu cuaderno.


Límite de una función en un punto. Continuidad y clasificación de discontinuidades.

Actividad 1.

Consideremos la siguiente función f(x) definida a trozos:

En la siguiente escena está representada la función. Pincha con el ratón en el valor de la abcisa y teclea 1.6. Observa que hay un punto azul sobre la curva. En la parte inferior derecha puedes comprobar las coordenadas del punto.

a) Construye una tabla para valores de x cada vez más próximos a -2 por la izquierda (-2.1, -2.01, -2.001,...) y otra para valores cada vez más próximos a -2 por la derecha. Compara los resultados con el valor de f(-2).

b) Expresa en lenguaje matemático (con límites) estos resultados. ¿Qué tipo de discontinuidad hay en x=-2?

c) ¿Qué otras discontinuidades hay en esta función? ¿Por qué? Utiliza lenguaje matemático.

d) ¿Por qué es continua en x=4?

Habrás observado que las posibles discontinuidades de una función definida a trozos están en los punto que separan cada trozo.


Actividad 2.

Consideremos ahora la siguiente función:

En la siguiente escena está representada la función para a=0, b=0 y k=1. Queremos hallar a, b y k para que sea continua en todos sus puntos. Se puede arrastrar con el ratón el punto (-2,1); observa como cambia la expresión de f(x).

a) ¿Existe el límite cuando x tiende a -2 de f(x)? Observa que f(-2)=k. ¿Cuál es el valor de k para que f sea continua en x=-2?

b) Busca tres rectas para x>1 de modo que f(x) sea continua en x=1 (tres valores para
a y b).

c) Comprueba, usando límites, la continuidad en x=1 para los tres casos del apartado anterior.

Podemos "pegar" un trozo de función con una semirrecta: "pegar" significa que la función resultante sea continua.


Actividad 3.

En esta escena puedes ensayar la función definida a trozos que tú te inventes. Para ello tienes que cambiar, en la parte inferior, el valor 0 que aparece en la expresión "y=f(x)*(0)" por la expresión que creas conveniente; y lo mismo en "y=g(x)*(0)". No tiene gracia sustituir 0 en las dos sitios con la misma expresión. (Si quieres indicar un producto se usa "*")

a) Busca la expresión de una función f(x) definida a trozos que tenga una discontinuidad evitable en x=-1, sabiendo que f(-1)=2.

b) Busca la expresión de una función
g(x) definida a trozos que sea continua en x=-1, sabiendo que g(-1)=2.

c) Busca la expresión de una función h(x) definida a trozos que tenga una discontinuadad de salto (finito o infinito) en x=-1, sabiendo que h(-1)=2.

Podemos "pegar" dos trozos de funciones: "pegar" significa que la función resultante sea continua.


Derivabilidad.

Recuerda:

Actividad 4.

Consideramos la función

En la siguiente escena está representada la función para a=0 y b=0. Queremos hallar a y b para que sea derivable en todos sus puntos salvo en x=-3. Modificando xo puedes moverte por los puntos de la curva (las coordenadas del punto aparecen abajo a la derecha en azul claro). Para cada punto P aparece dibujada la recta tangente y la pendiente m (abajo a la derecha).

a) ¿Por qué no es derivable en x=-3 (no aparece la recta tangente)?

b) Escribe la ecuación de la recta tangente en x=-1 y en x=1.

c) Modifica a y b para que f(x) sea derivable en x=2. Para facilitar la solución, aparecerá dibujada la recta tangente en x=2 pero no el valor de m: este valor aparece si encuentras la solución.

d) En la función f(x) para x>2, en vez de la recta ax+b, deseo que aparezca una curva. ¿Puedes escribir la expresión de esta nueva f(x)? (Ya no te sirve la escena)

Podemos "pegar bien" dos trozos de funciones: "pegar bien" significa que la función resultante sea continua y derivable. Esta idea se puede ampliar y hablar de "pegar doblemente bien", "pegar triplemente bien", ...: "pegar doblemente bien" significa que la función resultante sea continua y dos veces derivable, ...


Autor: Juan Simón Santamaría.

Alumno
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001  
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