Gráfica de una función cuadrática
La parábola
INTRODUCCIÓN:La función cuadrática es una función polinómica de segundo grado: y = ax2+bx+c ; donde a, b y c son números reales.
Dependiendo de los valores que tomen estos números (a, b y c), tenemos las siguientes funciones:
I. La función y = ax^2
Es el caso en que a es distinto de cero y b y c son ambos nulos.Dentro de este caso, diferenciaremos otros dos, el primero, el caso en que a>0 (que en la representación aparecerá turquesa) y un segundo caso en que a tomará valores negativos, es decir, a<0 (en la gáfica lo veremos en color rojo) 1.- Observa que si damos al parámetro "a" valores cada vez más grandes la función se ESTRECHA,pero si le damos valores cada vez más pequeñas se ENSANCHA. 2.- Nota que en todos los casos, independientemente del valor que tome a, las parábolas pasan por el origen de coordenadas; que es el punto de menor ordenada de la curva y se llama VERTICE DE LA PARÁBOLA.
3.- Comprueba que el DOMINIO de ambas funciones, como el dominio de cualquier polinomio, es todo R.
4.- Verifica que sin embargo, el CONJUNTO IMAGEN o RECORRIDO de las funciones varia. Para la primera ( y=ax^2) son los reales positivos; y para la segunda (y=-ax^2), es decir, cuando el coefiente de la x^2 es negativo, son los reales negativos.
5.- Por última, hemos de fijarnos en que las funciones y=ax^2 e y=-ax^2 son SIMÉTRICAS respecto al eje de abscisas.
II. Traslación en la dirección del eje de ordenadas: y=x^2+c
Es el caso en que a=1, b=0 y c es no nulo.
6.- Observa que estas parábolas se obtinen trasladando la gráfica y=x^2, c unidades en la dirección del eje de ordenadas, es decir, el eje Y. III. Traslación en la dirección del eje de abscisas: y=(x-b)^2
Es el caso en que a=1, y b y c son ambos no nulos.
Para llegar a las condiciones en que estamos en este caso, lo primero que hay que hacer es expresar la función y=x^2+bx+c en la siguiente forma: y=(x-h)^2; y nota que esto es algo que SIEMPRE vamos a poder hacer.
7.- Observa que las parábolas de ecuación y=(x-h)^2 son idénticas a la parábola y=x^2, pero con vértice en el punto (h,0). IV.Caso general: y=x^2+bx+c
Es el caso en que a=1,y b y c son números enteros no nulos.
Para que podamos realizar su construcción a partir de la gráfica y=x^2, pero trasladándola k unidades en la dirección del eje de ordenadas y h unidades en la dirección del eje de abscisas, lo que tenemos que hacer es escribir la función y=x^2+bx+c en la forma: y=(x-h)^2+h; y al igual que en el apartado anterior,nota que esto es algo que SIEMPRE vamos a poder hacer.
8.- Observa como al variar los valores de h y k también varia la posición de la parábola con respecto a los ejes de ordenadas. Autor:
Ana Maria del Pilar Martín Puebla
Alumno
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000
Alumno