INECUACIONES
Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas
Inecuaciones cuadráticas con dos incógnitas
Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas
Una inecuación con dos incógnitas, x e y, es una desigualdad que puede reducirse, por transposición de términos, a uno de estos tipos:
A(x,y) ³ 0 ó A(x,y) > 0
A(x,y) representa una expresión algebraica en las variables x e y (dicho de otro modo, una "función" de las dos variables x e y).
Diremos que el par de números (a,b) es una solución particular de la inecuación A(x,y) > 0, si al sustituir x por a, e y por b, se cumple la desigualdad o sea, si A(a,b)> 0. El conjunto de todas las soluciones de la inecuación se llama conjunto solución o solución general de la misma.
(Se tiene una definición análoga con la inecuación A(x,y) ³ 0).
Ejemplo:
Considera la inecuación 2x+y>5, y los pares de valores (a,b)=(-4,1) y (c,d)=(5,6).
(-4,1) no es solución de la inecuación, pues 2*(-4)+1=-7 no da un resultado mayor que 5.
(5,6) sí es solución de la inecuación, pues 2*5+6=16 es un resultado mayor que 5.
INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Interpretación geométrica
Dada, por ejemplo, una inecuación del tipo A(x,y)>0, diremos que A(x,y)=0 es su ecuación asociada.
En general, si representamos gráficamente el conjunto de los puntos (x,y) del plano que cumplen A(x,y)=0 se obtiene una línea que divide al plano en dos regiones, una de ellas está formada por los puntos que cumplen A(x,y)>0 y la otra está formada por los puntos que cumplen A(x,y)<0.
Para distinguir a qué inecuación corresponde cada una de las dos regiones, tomaremos un punto de una de ellas y veremos cuál de las desigualdades A(x,y)>0, A(x,y)<0 cumple: Todos los demás puntos de esa región cumplirán la misma inecuación que el punto elegido.
En particular, la solución de una inecuación de primer grado con dos incógnitas, Ax+By>C, está formada por los puntos de un semiplano, cuyo borde es la recta de ecuación Ax+By=C, la recta estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (es decir Ax+By ³ C).
Ejercicios
1.- Mueve el punto P y observa si verifica o no la inecuación.
2.- Cambia los valores a, b, y c .
3.- Repite el ejercicio 1.
Observa la siguiente escena donde la recta ax+by=c divide al plano en dos regiones; la formada por los puntos que cumplen ax+by>c y la otra formada por los puntos que cumplen ax+by<c.
La parte rayada es la solución de la inecuación ax+by>c.
4.- Modifica los puntos a, b y c y observa cómo cambian las regiones.
SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de dos o más de estas inecuaciones.
El par (x,y) es solución si satisface simultáneamente todas las inecuaciones.
Ejercicios
5.- Modifica las inecuaciones por x + 2y >2 y x +2y< -2 . ¿Qué ocurre en ese caso?
En general, para resolver o encontrar la solución de un sistema de n inecuaciones se encontrarán los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones por separado y después se hará la intersección de dichos semiplanos. Dicha intersección puede ser vacía y se hablará entonces de sistema incompatible.
6.- Resuelve en tu cuaderno el siguiente sistema de inecuaciones:
x - 3y +2> 0
2x + y - 3 <0
x + 2y +4 >0
INECUACIONES CUADRÁTICAS CON DOS INCÓGNITAS
Son inecuaciones del tipo:
y> ax2 +bx +c
y ³ ax2 +bx +c
y < ax2 +bx +c
y £ ax2 +bx +c
Lo mismo que en las inecuaciones lineales cada inecuación tiene una curva asociada, que será y = ax2 +bx +c que la representaremos gráficamente (obteniendo una parábola) y dicha curva nos divide al plano en dos regiones, una de las cuales será solución y la otra no. Para obtener la región solución se comprueba si un punto no perteneciente a la curva pertenece o no a la solución. Si pertenece es la región donde está incluido y si no, la otra.
La curva estará incluida en la solución si la desigualdad no es estricta (£ ó ³ ).
7.- Dada la inecuación y > x2 - 2x - 6 comprueba moviendo el punto P, que la parte rayada es la solución y la otra no.
SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS
En general para resolver un sistema de n inecuaciones se encontrarán las soluciones de cada inecuación (representando la curva asociada) y la solución del sistema será la intersección de las soluciones.
Veamos ahora tres ejemplos:
1º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra cuadrática.
2º- Sistema formado por dos inecuaciones cuadráticas.
3º- Sistema formado por una inecuación lineal y otra inecuación cuya curva asociada es una circunferencia (si se modifican los valores m, n pasa a ser una elipse o una hipérbola)
8.- El sistema representado es:
ax + by +c > 0
mx2 +ny2 < 25
Modifica m ó n y observarás como se transforma la circunferencia en una elipse o en una hipérbola.
Si colocas el cursor en la zona común obtendrás puntos que pertenecen a la solución.
9.- Escribe tres puntos que sean solución, en caso de que exista, y otros tres que no lo sean.
10.- Se puede plantear otros tipos de ejercicios con funciones que, dependiendo del nivel , los alumnos conozcan.
Autor:Carmen Omatos - Natividad Anguiano