TASA DE VARIACIÓN DE UNA
FUNCIÓN EN UN INTERVALO
El problema de la velocidad
Un coche realiza un recorrido como el de la gráfica que puede verse a continuación. La distancia viene expresada en kilómetros y el tiempo en minutos.
Cambiando los valores del tiempo en
minutos podrás observar
las distancias recorridas en kilómetros. Si dibujas la gráfica en tu
cuaderno y anotas las distancias y los tiempos podrás responder a las
siguientes preguntas:
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La velocidad media
Considerando que la velocidad media entre dos instantes t1 y t2 viene dada por el cociente:
Se puede estudiar más minuciosamente en cada unos de los tramos de la gráfica del recorrido del coche. En la siguiente escena Descartes aparece el valor de la velocidad media en un determinado intervalo de tiempo. Los valores del tiempo pueden escribirse ahora con una precisión de centésimas.
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Varía los extremos del intervalo de
tiempos para estudiar la velocidad media del coche en los intervalos: [0,10],
[10,17], [17,18], [18,32], [32,42], [42,50], [50,52] y [52,64]. Contrasta estos resultados con los
obtenidos anteriormente.
Dentro del intervalo [0,10] estudia, para diferentes intervalos dentro de él, la velocidad media. ¿La velocidad en ese trayecto es constante? Estudia en qué otros intervalos del recorrido la velocidad es constante. ¿Tiene algo que ver esta conclusión con el hecho de que la gráfica sea una línea recta? Dentro del intervalo [10,17] estudia para diferentes subintervalos la velocidad media. Aumenta la escala y mueve los ejes para ampliar la zona en estudio. ¿Qué variación experimenta la velocidad? Estudia en qué otros intervalos del recorrido la velocidad varía. ¿Tendrá alguna relación con la forma de la gráfica? |
Sabes que el velocímetro de los coches mide en cada momento la velocidad del coche, es decir no mide la velocidad en un intervalo sino la velocidad en cada momento o velocidad instantánea ¿Se te ocurre cómo se podría hallar la velocidad en el minuto 15? Da un valor aproximado.
Tasa de variación de una función en un intervalo
De la misma forma que se define la velocidad media se define tasa de variación de una función y=f(x) en un intervalo [x1,x2] al cociente:
La función cuya gráfica es el recorrido del vehículo del ejemplo anterior nos va a servir de ejemplo para estudiar la tasa de variación de una función y=f(x) en diferentes intervalos.
En el intervalo [10,17] la tasa de variación de la función es la pendiente de la secante AB.
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Sin variar el valor de x1 disminuye con el ratón los valores de x2 hasta el valor 10.25 y observa los diferentes valores de la tasa de variación de la función. Pulsa el botón Inicio y vuelve a repetir el proceso, en este caso fijando x2 y aumentando x1 hasta el valor 16.75 Puedes observar que en ambos casos la tasa de variación cambia permanentemente. ¿En qué puntos del intervalo es menor y mayor la pendiente de la secante? ¿Encuentras alguna relación entre la pendiente de la secante y la velocidad media del ejercicio anterior? Para intervalos cada vez más pequeños la tasa de variación suele alcanzar un valor fijo. Intenta encontrar ese valor para x=15. |
Cálculo de la tasa de variación
La escena Descartes siguiente intenta facilitar el cálculo de la tasa de variación de una función polinómica de hasta tercer grado. Cambiando los valores de los coeficientes a, b, c y d se puede obtener cualquier función de ese grado o inferior.
Halla la tasa de variación de las siguientes funciones en los intervalos que se indican:
Autor: Miguel García Reyes
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||