HOMOTECIA Y SEMEJANZA

Teorema de Tales. Semejanza de polígonos

Teorema de Tales

Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra. En el ejemplo de la escena Descartes siguiente tres rectas paralelas son cortadas por dos secantes r y s y puede comprobarse en todo momento qué valor alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes, que son siempre iguales.

Observa en la escena cómo se cumple en todo momento que  AB/BC=A´B´/B´C´ Mueve los extremos A, A´, C y C´ y mira si cambian los valores de los cocientes. Mueve también la paralela central arrastrando el punto rojo con el ratón y verás cómo varía cada uno de los cocientes. 
Repite el proceso en tu cuaderno con las mismas medidas y realiza las mediciones para determinar si se cumple o no la igualdad de cocientes. Desplaza la paralela central hasta que sean iguales los segmentos AB y BC y comprueba si son iguales los segmentos  A´B´ y  B´C´ . Mueve también las dos rectas r y s para ver si se mantiene la igualdad.

Semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC y A´B´C´ son semejantes se verifica:

A=A´    B=B´    C=C´        AB/A´B´=BC/B´C´=CA/C´A´=razón de semejanza

En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del triángulo azul y observa como varía el triángulo rojo, semejante al primero. Si los lados del triángulo azul fueran 3, 4 y 5 ¿Qué valor tendrían los del rojo? 

Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los triángulos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos triángulos ¿Cómo  son ahora los lados del triángulo azul si los del rojo fueran 3, 5 y 7?

Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos triángulos.

¿Dos triángulos iguales, serían semejantes? ¿Y dos triángulos equiláteros? Si dos triángulos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos triángulos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

El teorema fundamental de la semejanza de triángulos

Toda paralela a un lado de un triángulo forma con las rectas a que pertenecen los otros dos un nuevo triángulo semejante al primero.

 En la escena Descartes en el triángulo ABC se traza una paralela al lado BC que pasa por D y E y determina segmentos que son proporcionales porque sus cocientes son iguales.

Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno un triángulo idéntico al de la escena, traza la paralela al lado BC y comprueba las medidas y sus cocientes. Constata cómo si desplazas los puntos B y C horizontalmente el valor de los cocientes no varía, sin embargo sí varía al desplazar el segmento DE. 

Mueve el segmento por encima del vértice A y verás que sigue cumpliéndose la proporcionalidad de esos segmentos. Pasará igual si lo arrastras por debajo de B y C.

En un triángulo de lados AB=10 cm, AC=12 cm y BC=8 cm se traza una paralela al lado BC a una distancia de 4 cm del vértice A, tomados sobre el lado AB, y que corta a los lados en D y E. Calcula las medidas AD, AE y DE

Construcción de un polígono  semejante a otro

Un método para construir un polígono semejante al ABCDE, si la razón de semejanza es 1/2, es el siguiente:

• Desde un punto O, cualquiera, se trazan rectas hacia todos los vértices del polígono ABCDE.
• El punto A´ queda determinado cuando el segmento OA´ sea la mitad del OA. De igual forma se determinarían los puntos B´, C´, D´ y E´.

Si la razón de semejanza es distinta, basta con buscar que el cociente de los segmentos OA´ y OA sea igual a la razón de semejanza.

En la escena Descartes puede variarse el valor de la razón de semejanza de ambos polígonos y moverse de sitio el punto auxiliar O. 

Mueve con el ratón el punto O hasta situarlo dentro del pentágono. Observa cómo el pentágono construído con ese método es el mismo de antes. Sitúa el punto en uno de los vértices del pentágono turquesa y verás cómo se obtiene el mismo pentágono semejante.

Construye en tu cuaderno un pentágono cualquiera. Construye otros dos semejantes a él y de razones de semejanza 0.5 y 2. Sitúa el punto O fuera y dentro del polígono en cada caso y compara los resultados.

Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los pentágonos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 1.5 y compara ambos pentágonos ¿Cómo  son ahora los lados del pentágonos azul si los del turquesa fueran 3, 5, 6, 8 y 7?

Repite la operación para razones 0.2 y 3 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos pentágonos.

¿Dos pentágonos iguales, serían semejantes? ¿Y dos pentágonos regulares? Si dos pentágonos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos pentágonos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?

Autor: Miguel García Reyes

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000