TRIÁNGULOS
Criterios de semejanza
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
Criterios de semejanza de triángulos
Para determinar si dos triángulos dados son semejantes bastaría con comprobar si verifican estas condiciones. Pero existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. Estos principios se conocen con el nombre de casos de semejanza de triángulos, o también:
Criterios de Semejanza de Triángulos
I. Primer criterio
Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes entre sí.
A partir de este triángulo puedes obtener triángulos semejantes al original arrastrando el punto C o jugando con los valores de la escala. Observa que la medida de los ángulos, a pesar de todo, permanece constante.
1.- Observa el valor
de los ángulos de estos dos triángulos superpuestos.
(Los matemáticos dicen de
esta singular forma de superponer triángulos que están en posición de
Tales, en
honor al sabio griego Tales de Mileto)
Compara ahora el triángulo total, BDE,con el mas pequeño
formado en su interior, ABC. Indica el valor de cada uno de los
ángulos en tu cuaderno de trabajo. ¿Podemos decir que son
iguales dos a dos?.
| A= | E= |
| B= | B= |
| C= | D= |
¿Son semejantes
estos triángulos?
¿Por qué?
2.- Sabemos que los ángulos de un triángulo SUMAN necesariamente 180º.
Si tenemos dos triángulos que tienen dos de sus ángulos iguales, ¿cómo será el tercer ángulo?
¿Son semejantes
estos triángulos?
¿Por qué?
3.- Triángulos equiláteros son aquellos que tienen sus ángulos y lados iguales, como el que ves en esta escena. Puedes variar su tamaño como hiciste en la anterior escena.
Si tenemos dos triángulos equiláteros de diferente tamaño, ¿cómo serán sus ángulos?
¿Son semejantes
estos triángulos?
¿Por qué?
II. Segundo criterio
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.
El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza.
4.- Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes y halla la razón de semejanza.
a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
5.- Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1. ¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
6.- Comprueba si son semejantes los triángulos de la siguiente escena. ¿Cual es la razón de semejanza?
III. Tercer criterio
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
De nuevo tienes aquí dos triángulos en posición de Tales. Como puedes comprobar, el ángulo B es común a ambos triángulos y los lados que lo forman son proporcionales entre sí.
7.- Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo del problema).
8.- Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
9.- Como tú mismo puedes comprobar, estos dos triángulos son semejantes. Los lados c - f, y a - d, son proporcionales entre sí.Los ángulos que comprenden, B y E, miden 90º cada uno de ellos. Halla la razón de semejanza y las dimensiones de los lados que faltan.
Autor: Máximo Prudencio Conejo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||