DEFINICIÓN DE POTENCIA

Operaciones con potencias     Potencias de exponente fraccionario 

Potencia. Base y exponente

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre).

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, yo tengo 2*2 = 4 abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego yo tengo 2*2*2 = 8 bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; yo tengo 2*2*2*2 = 16 tatarabuelos.

En muchas situaciones hay que multiplicar un número por sí mismo varias veces. Para abreviar, en lugar de escribir 2*2*2*2 escribimos 2⁴ y lo llamaremos potencia.

2⁴ se lee "2 elevado a 4" o también "2 elevado a la cuarta".

5² se lee "5 elevado a 2" o también "2 elevado al cuadrado", que es más habitual.

Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias veces. El número que multiplicamos se llama base, el número de veces que multiplicamos la base se llama exponente.

En la potencia 2⁴, la base es 2 y el exponente es 4.

1. Calcula las siguientes potencias: 3⁵,  5³,   7²,  2⁷,  10⁴,  4¹⁰. En cada caso escribe cuál es la base y cuál es el exponente. Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

(Nota: si calculas otras potencias y el resultado de la potencia supera las siete cifras, la escena muestra el resultado en notación científica, que se explica más abajo)

Algunas potencias especiales

2. Utiliza la escena anterior para calcular las siguientes potencias:

• 0²,  0⁵,  0⁷,  0¹⁰
• 1⁵,  1⁸,  1²,  1¹⁰
• 3¹,  5¹,  9¹,  10¹
• 2⁰,  3⁰,  8⁰,  10⁰
• 10¹,  10²,  10³,  10⁴,   10⁵,  10⁶

Escribe en tu cuaderno cinco conclusiones que deduces de los resultados de cada uno de los apartados anteriores.

Cuadrados perfectos

Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Los utilizaremos mucho en la clase de matemáticas a partir de ahora.

3. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Como sabes, el área de un cuadrado de lado l mide l². Por tanto, geométricamente, calcular el cuadrado de un número equivale a calcular el área de un cuadrado cuyo lado mida el número dado.

4. En la escena siguiente asígnale a la variable lado los diez primeros números naturales y cuenta, en cada caso, el número de cuadraditos que contiene el cuadrado correspondiente.

Cubos perfectos

Igual que en el caso de los cuadrados, las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos.

5. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales y completa la siguiente tabla en tu cuaderno.

Comprueba los resultados en la siguiente escena.

Notación científica de los números. Números grandes

Como viste en el último apartado de la actividad número 2 anterior, las potencias en base 10 son muy fáciles de calcular. Así:

10² = 100; 10⁴ = 10.000; 10⁷ = 10.000.000; 10¹¹ = 100.000.000.000

Como habrás deducido fácilmente, podemos establecer una regla general para dichas potencias:

El resultado de la potencia 10ⁿ es igual a la unidad seguida de n ceros.

Utiliza la calculadora y calcula el producto 9857 * 37563.

El resultado que muestra la calculadora (que tenga una pantalla con una capacidad de mostrar 8 dígitos) es

9857 * 37563 = 3.7025849 ⁰⁸

En las escenas de este programa la notación científica se expresa de la siguiente manera:

9857 * 37563 = 3.7025849 E08

Este resultado hay que interpretarlo de la siguiente manera:

3.7025849 ⁰⁸ = 3.7025849 E08 = 3,7025849 * 10⁸ = 370.258.490

Esta forma extraña de presentar el resultado es debido a que el producto es un número que tiene 9 cifras (el resultado del producto es 370.258.491) que no cabe en la pantalla. Es decir, la calculadora no es capaz de mostrar el resultado exacto de la operación y lo muestra aproximado: no ofrece la última cifra que es la menos respresentativa del resultado, la menos importante.

Diremos que el resultado de la calculadora se expresa en notación científica.

6. Utiliza la escena siguiente para calcular las siguientes potencias: 125⁵,  444⁴,   12¹²,  9999²,  5678³. Anota en tu cuaderno el resultado y escríbelo a continuación en notación normal, como en el ejemplo anterior. Aumenta hasta 7 el número de decimales para aumentar así la precisión en el resultado.

Potencias de exponente negativo

Si n es un número natural se define

a^-n = 1 / aⁿ

7. Calcula las siguientes potencias: 3^-5,  5^-3,   7^-2,  2^-7,  5^-4,  4^-5. Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

Notación científica de los números. Números pequeños

Las potencias de base 10 y exponente negativo son fáciles de calcular. Así por ejemplo,

10^-2 = 1 / 10² = 1 / 100 = 0,01

10^-3 = 1 / 10³ = 1 / 1000 = 0,001

10^-5 = 1 / 10⁵ = 1 / 10000 = 0,00001

Ya hemos visto que cuando el resultado de una operación es muy grande (supera las 8 cifras) las calculadoras lo expresan en notación científica. Lo mismo ocurre cuando el resultado de la operación es muy pequeño, inferior a 0,0000001. Así por ejemplo,

10^-7 = 1 / 10⁷ = 1 / 10.000.000 = 0,0000001

Si calculas el cociente anterior en una calculadora, como no le cabe el resultado en la pantalla, muestra el resultado en notación científica 1.^-07 que, igual que en el caso de números grandes, debes interpretarlo como 1 * 10^-07.

8. Utiliza la escena siguiente para calcular las siguientes potencias: 125^-5,  444^-4,  12^-12,  9999^-2,  5678^-3. Anota en tu cuaderno el resultado y escríbelo a continuación en notación normal, como en el ejemplo anterior.

Utiliza la tecla 1/x de tu calculadora para comprobar que los resultados de este ejercicio son inversos que los del ejercicio 6.

Potencias de base negativa

Calcula las potencias (-5)³ y (-5)⁴.

(-5)³ = (-5)*(-5)*(-5) = -125. El resultado es negativo.

(-5)⁴ = (-5)*(-5)*(-5)*(-5) = 625. El resultado es positivo.

En general, al elevar un número negativo a un exponente par el resultado es siempre positivo. Al elevarlo a un exponente impar, el resultado es siempre negativo.

9. Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente.

    a) (-3)⁵       b) (-3)⁶       c) (-4)⁴       d) (-4)⁵       e) (-10)⁵       f) (-13)⁹

Nota: Si calculas potencias cuyo resultado sea superior a 7 cifras, por ejemplo, la del apartado f), deberás aumentar el número de decimales de la potencia para aumentar la precisión en el resultado.

Operaciones con potencias     Potencias de exponente fraccionario  

Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000