ECUACIONES DE PRIMER GRADO
(con una incógnita)
Interpretación geométrica (función afín)
Ecuaciones que no tiene solución
Ecuaciones con infinitas soluciones (identidades)
Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sóla letra (incógnita normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dicen que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos :
1 - 3x = 2x - 9.
3(x-1) = 4 - 2(x+1)
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación : 3(x-1) = 4 - 2(x+1).
Como ya sabrás, resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con un valor:
x = 2, llegaríamos a 3 = -2, luego no es cierto,
x = 1 llegaríamos a 0 = 0, que sí es cierto, luego hemos encontrado una solución de la ecuación. Veremos más adelante que en algún caso puede haber más soluciones.
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea realizar las operaciones indicadas e ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = ..número..Así en el ejemplo se procede:
3x - 3 = 4 - 2x - 2 (atención al signo cuando haya paréntesis)
3x + 2x =3 + 4 - 2 ; 5x = 5; x = 5/5 ; x = 1 que es la solución que ya habíamos encontrado antes..
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución. Pero:
¿qué significa gráficamente esta solución?
Observa la siguiente escena. La línea recta dibujada en rojo representa gráficamente a la ecuación. Cambia los valores de x en la ventana inferior, señalando sobre las flechitas con el ratón o "arrastrando" el punto grueso rojo con el ratón.
El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución de la ecuación (observa que es x = 1)
Observa en esta escena que la ecuación está escrita en la parte inferior de la imagen, en rojo. Fíjate en la forma de escribir las operaciones, especialmente el signo * (que significa "por") delante de los paréntesis.
| Para resolver una ecuación de primer grado se
utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la
"x" sola en el primer miembro. Veámoslas para
el ejercicio siguiente: 3x + 1 = x - 2. - Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros: 3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma" - Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2: 2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 que es la solución. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando". En ecuaciones más complicadas puede ocurrir también: - Que haya operaciones indicadas con paréntesis. Se realizan lo primero (como hicimos en el ejercicio 1) - Que en la ecuación hay denominadores. En este caso lo primero será hacer denominador común para ambos miembros, con lo que se podrán suprimir los denominadores y continuar con los pasos anteriores (ver el ejercicio 3). Ejemplo: Para resolver la ecuación:
y suprimiendo los denominadores ya estamos como en el caso anterior: 2(x - 2) - 3(x + 3) = 5(1 - 2x) |
Ejercicio 2.- Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación: 2(x-5) = -2(x-3).
Escribe en la siguiente escena, en la línea donde ahora ves escrita la ecuación anterior, la ecuación de este ejercicio.
Comprueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente.
(habrás obtenido que la solución es x = 4)
Ejercicio 3.- Resolver la ecuación: x/2 + x/3 = 5
Obsevar que el denominador común (m.c.m) es 6 con lo que has de llegar a 3x + 2x = 30 y la solución será x = 6.
"comprueba la solución escribiendo la ecuación en la ventana correspondiente de la escena anterior ".
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA (como función afín)
Ejercicio 4.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Numéricamente ya sabes como se resuelve: "despejando" la x: ya lo hicimos antes y obtuvimos x = -1,5.
Pero vamos a dar una interpretación geométrica a esta ecuación distinta a la de los ejercicios anteriores.
Si pasamos todos los términos de la ecuación al primer miembro y simplificamos el resultado se obtiene la ecuación:
2x + 3 = 0 equivalente a la de partida, o sea que tiene la misma solución.
Si al primer miembro de la ecuación le llamamos "y" se obtiene la función y = 2x+3, quizás sepas que se trata de una función afín y su representación gráfica es una recta. Representémosla:
Se puede ver en la siguiente imagen:
Como puede verse la recta corta al eje X.en un punto. La "abscisa x" de ese punto es la solución de la ecuación. Mueve el punto destacado de la recta hasta cortar al eje X o cambia los valores de x con las flechitas de la ventana inferior. . Seguramente observarás que la solución es x = -1,5.
Por tanto:
La solución de una ecuación de primer grado es la "x" del punto de corte de la función (recta) que se obtiene de la ecuación con el eje de abscisas (X).
Naturalmente se comprueba inmediatamente que esta interpretación geométrica, distinta de la vista anteriormente, nos da siempre el mismo punto de corte con el eje X (misma solución),como se puede ver en la escena que sigue al ejercicio 5.
Ejercicio 5.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 1-3x = 2x - 9
b) x/2 - x/3 = 1
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo ambas ecuaciones, consiguiendo en ambos casos que el segundo miembro de la ecuación sea 0 y simplificando todo lo posible el resultado, para expresarlas como función afín.
Deberás obtener para la primera:
a) -5x + 10 = 0
En general cualquier función afín tiene la expresión: y = ax+b.
En la siguiente escena se puede representar una función afín cualquiera. Si se cambian los valores de los parámetros "a" y "b" se obtiene una concreta. (Se pueden cambiar con las flechitas o borrando el valor actual y escribiendo el nuevo en las ventanitas de al lado).
En esta escena puedes ver representa la ecuación a) por el primer método (en azul), y como función afín (en rojo), ya que los valores de a y b son -5 y 10 respectivamente. Observa como la solución de la ecuación es x = 2 , valor de x en el punto de corte de ambas rectas con el eje X.
Para la ecuación del apartado b), la solución debe ser x = 6.
En general, si se pasan todos los términos de la ecuación al primer miembro, aunque no se simplifique, la expresión que se obtiene corresponde a la misma función afín (aunque no expresada como y = ax+b) que la que se obtiene al simplificar. Por ejemplo:
Ejercicio 6.- Resolver: x/2 + x/4 = 3; se obtiene x/2 + x/4 - 3 = 0 y la función: y = x/2 + x/4 -3
En la siguiente pantalla puedes observarla y ver el punto de corte de la misma con el eje X: x = 4, que corresponde a la solución de la ecuación.
En esta pantalla se puede modificar la expresión de la ecuación, sin más que situarse en la ventana donde se ve su expresión, borrar y escribir de nuevo. (recuérdese que el símbolo de la multiplicación es * y la división / ).
ECUACIONES QUE NO TIENEN SOLUCIÓN
Ejercicio 7.- Resuelve en el cuaderno de trabajo las siguientes ecuaciones:
a) x-3 = 2+x.
b) x/2 = 1 - x + 3x/2
En el primer caso se obtendrá la expresión 0 = 5 y en el segundo 0 = 2. ¿qué significa? Desde luego ambas expresiones no pueden ser ciertas independientemente del valor que tome x.
Decimos que en estos casos la ecuación no tiene solución.
Pero veamos gráficamente lo que significa.
Si en ambas ecuaciones conseguimos que el segundo miembro sea 0 y simplificamos todo lo posible, obtenemos: -5 = 0 y -2 = 0. Se observa que "desaparece" la x., o lo que es lo mismo en la expresión ax + b = 0, "a = 0".
En la siguiente imagen se puede observar la posición de la recta en el caso a = 0, b = -5, que corresponde a la ecuación a).
Prueba para otros valores de b, siempre conservando el de a = 0 y el de b distinto de 0
¡En todos los casos las rectas son paralelas al eje X!, luego no hay punto de corte. Eso significa que la ecuación:
no tiene solución
ECUACIONES CON INFINITAS SOLUCIONES
Ejercicio 8.- Resuelve en el cuaderno de trabajo las siguientes ecuaciones:
a) 2x-1 = 3x + 3 - x - 4
b) x/2 - x/3 = x/6
Ahora habrás llegado en ambos casos a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora?. La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?.
Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x!.
Sustituye en cualquiera de las dos x por el valor que desees y comprueba que la igualdad es siempre cierta.
En la escena siguiente se observa que al, asignar los valores a = 0 y b = 0, la recta que se representa coincide con el eje X, luego se puede decir que "corta" al eje X en infinitos puntos, todos los valores de x.
En este caso se dice que la ecuación tiene:
infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución)
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 9.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.
La solución de la ecuacíón se puede ver también en esta escena
Plantea y resuelve numéricamente y también si lo deseas gráficamente es esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- Un examen consta de 20 cuestiones. Cada cuestión correcta se valora con 3 puntos, y cada cuestión incorrecta se restan 2 puntos. Si al final de la pureba el alumno consiguió 30 puntos. ¿Cuántas cuestiones contestó correctamente y cuantas no ?. (Sol: 14 y 6).
Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:
Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 2(x - 7) - 3(x + 2) + 4(x + 1) - 2 = 0
b) 3x - 5 = x/2
c) (x - 9) / 2 = (1 + 3x) / 13
d) 
e) x/2 - 4 = (x-1)/2 - 7/2
"Si en algún caso no ves la recta puedes disminuir el valor de la "escala" hasta que se vea"
"Cambia con las flechitas los valores de x hasta encontrar el correspondiente al punto de corte con el eje X. (solución)"
"Puedes utilizar el método goemétrico que desees de los dos utilizados en el tema: escribir la ecuación directamente (en la ventana de color azul) o buscar la función afín correspondiente de la forma y = ax+b, y cambiar los valores de a y b en las ventanitas correspondientes. La escena inicial corresponde a la ecuación b)
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectángular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín ? (Sol: 9 y 20 m)
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido. (Sol: 4).
c) Un grifo llena un depósito en 3 horas y otro lo hace en 6 horas. El depósito está vacío y se abren los dos grifos a la vez. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ? (Sol: 2 horas)
Autor: Leoncio Santos Cuervo
 |
||
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
