TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto, esto es, mide 90º. El lado mayor de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa mientras que los otros dos lados se llaman catetos.
Recuerda que en cualquier triángulo, la suma de las medidas de los tres ángulos vale 180º. Por tanto, en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos agudos vale 90º.
1. En la escena siguiente mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que el triángulo sea rectángulo en el vértice A. Repite el proceso y construye tres triángulos de distinto tamaño y forma. En cada caso, anota en tu cuaderno los valores de los ángulos B y C. Comprueba que su suma es igual a 90º. Anota también las medidas de los tres lados del triángulo.
Los antiguos egipcios ya conocían que el triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5 unidades de longitud cumple la propiedad de que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos:
52=42+32
2. Construye en la escena anterior un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5. Comprueba que efectivamente dicho triángulo es rectángulo y que el ángulo recto está en el vértice opuesto a la hipotenusa, de lado 5. Aumenta la escala de la escena para que te resulte más fácil.
3. Comprueba que los números 10, 8 y 6 (el doble de 5, 4 y 3) también verifican la relación anteior. Cualquier múltiplo 5*k, 4*k y 3*k de esos tres números (donde k es un número entero cualquiera) también la verifican. En el cuadro siguiente varía los valores del parámetro k y comprueba que el triángulo cuyos lados tienen esas medidas siempre es rectángulo y que efectivamente se verifica la relación anterior.
4. ¿Será cierta también la relación si el número k es un número decimal? Compruébalo en el cuadro siguiente.
Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió hacia el año 500 antes de Cristo. Él descubrió que la relación anterior es también cierta para todos los triángulos rectángulos. Esto es, en un triángulo rectángulo cualquiera cuya hipotenusa mide a y los dos catetos miden b y c, se verifica la relación:
a2=b2+c2
Esta relación se conoce como EL TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
5. En la escena siguiente arrastra con el ratón el vértice B. De esta manera obtendrás distintos triángulos rectángulos. Observa que al mover el vértice B varían los valores de la hipotenusa y de los catetos b y c. Puedes aumentar o disminuir el valor de la escala en la parte superior del cuadro. Observa en cada caso que siempre se verifica el teorema de Pitágoras. También puedes asignar los valores que desees a los catetos b y c en la parte inferior de la escena.
6. Mueve el punto B de tal manera que los valores de b y c valgan 8 y 6, 6 y 8, 5 y 12, 12 y 16, 9 y 12, 8 y 15, 20 y 21 y 10 y 10. En cada caso, anota en tu cuaderno las medidas de los lados del triángulo, así como los cuadrados de las tres medidas (a2, b2 y c2).
7. Mide con tu regla los lados de tu libro de Matemáticas y anótalos en el cuaderno. Llama b a la medida del borde mayor del libro y c a la del menor. En la escena anterior asigna a los catetos b y c las medidas del libro. Anota el valor de la hitotenusa a. Mide con tu regla la diagonal del libro y observa que coincide con el valor de a anterior.
8. Disponemos de una escalera de mano de 2,20 cm de longitud. La apoyamos en una pared a 1,80 cm de altura. ¿A qué distancia de la pared hemos situado la base de la escalera?
9. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 6 cm de lado.
Demostración del teorema de Pitágoras.
En la figura siguiente se demuestra el teorema de Pitágoras.
Aparecen en ella dos cuadrados iguales cuyo lado mide b+c. En ambos cuadrados hemos colocado, pero de manera diferente, cuatro triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa mide a y sus catetos, b y c.
En el cuadrado de la izquierda, el hueco que queda después de haber colocado los cuatro triángulos es un cuadrado de lado a, la hipotenusa del triángulo. El área de ese cuadrado mide por tanto a2.
En el cuadrado de la derecha, quedan dos huecos cuadrados de lados b y c. Sus áreas miden por tanto b2 y c2 respectivamente.
Como los cuadrados originales son iguales, los huecos que quedan en ambos tienen la misma superficie. En el de la izquierda, a2 y en el de la derecha, b2+c2.
Luego a2 = b2+c2
10. En la escena siguiente, asigna a los catetos b y c los valores del ejercicio número 6 y observa que en todos los casos se cumple el teorema de Pitágoras. Calcula en todos los casos el valor de la hipotenusa a.
Autor: Fernando Arias Fernández-Pérez
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||